1850’de çoğu matematikçi kalkülüsü anladığını düşünüyordu. Kalkülüs araçlarının karmaşık sayılara ve daha yüksek boyutlardaki alanlara genellenmesi ile gerçek bir ilerleme kaydedilmişti. Kısmi diferansiyel denklemlere Fourier serilerinin uygun genellemeleri ile donatılmış çözümler bulunmuştu. Cauchy’nin anlayışı özümsenmiş ve 1820’lerdeki öncü çalışmaları sırasında belirsizleşen düzgün yakınsama ve düzgün süreklilik gibi kavramlar anlaşılmaya başlanmıştı. Matematikçilerin kendilerine güvenmek için sebepleri vardı.
Geriye kalan küçük, sersemletici sorunlardan biri, Fourier serilerinin açılımının yakınsaması sorunuydu. Ne zaman yakınsıyordu? Bu durumda, Fourier katsayılarının türetildiği orijinal fonksiyona yakınsadığından emin olabilir miyiz? 1829’da Peter Gustav Lejeune Dirichlet, bir fonksiyonun kapalı ve sınırlı bir aralıkta parçalı monotonik olduğu sürece Fourier serisinin orijinal fonksiyona yakınsadığını kanıtlamıştı. Dirichlet, Fourier serisinin orijinal fonksiyona yakınsaması için fonksiyonların parçalı monotonik olması gerekmediğine inanıyordu, ancak ne kendisi ne de başka biri bu varsayımı zayıflatamadı.
1850’lerin başında, Dirichlet’nin himayesi altında bulunan ve Gauss’un öğrencisi olan Bernard Riemann, trigonometrik seri anlayışımızı genişletme konusunda önemli ilerleme kaydetti. Bu sayede kalkülüsün kesinliği gündeme gelecekti. Sonraki 60 yıl boyunca beş büyük soru ortaya çıkacak ve cevaplanacaktı. Cevaplar tamamen beklenmedik olacaktı. Kalkülüsün doğasını sonsuza dek değiştireceklerdi.
- Bir fonksiyon ne zaman bu fonksiyona yakınsayan bir Fourier serisi açılımına sahiptir?
- İntegralleme nedir?
- İntegralleme ve türevleme arasındaki ilişki nedir?
- Süreklilik ve türevlenebilirlik arasındaki ilişki nedir?
- Sonsuz bir serinin integrali ne zaman her bir terimi tek tek integrallenmek suretiyle alınabilir?
Kaynak: David M. Bressoud, A Radical approach to Lebesgue’s theory of integration.
P o s t — B l o g 